Generalized Cartan Matrix

释义 Definition

广义卡当矩阵：在李代数与表示论中使用的一类整数方阵，用来刻画（尤其是）Kac–Moody 代数与相关根系的结构。它通常满足：对角元为 2；非对角元为非正整数；并且若某个非对角元为 0，则其对称位置也为 0。（不同文献对附加条件与是否可对称化等会有细微差别。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈdʒɛnərəˌlaɪzd kɑːrˈtɑːn ˈmeɪtrɪks/

例句 Examples

A generalized Cartan matrix determines the relations in a Kac–Moody algebra.
广义卡当矩阵决定了 Kac–Moody 代数中的基本关系。

Given a symmetrizable generalized Cartan matrix, one can construct the corresponding Kac–Moody algebra and study its root system and Weyl group.
给定一个可对称化的广义卡当矩阵，可以构造对应的 Kac–Moody 代数，并研究其根系与 Weyl 群。

词源 Etymology

Cartan 来自法国数学家 Élie Cartan（埃利·卡当） 的姓氏；matrix 源自拉丁语 matrix（母体、源头）。短语中的 generalized（广义的） 表示它是对经典“卡当矩阵”（对应有限维半单李代数/有限型 Dynkin 图）的推广，允许出现更一般的类型，从而涵盖无限维情形（如 Kac–Moody 代数）。

相关词 Related Words

• Cartan
• Matrix
• Kac–Moody Algebra
• Dynkin Diagram
• Root System
• Weyl Group
• Symmetrizable
• Lie Algebra

文学与著作中的用例 Literary Works

• Victor G. Kac, Infinite-Dimensional Lie Algebras（该术语是建立 Kac–Moody 代数理论的核心定义之一）
• James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory（在从半单李代数过渡到根系/卡当数据的叙述脉络中常被对照提及）
• Nicolas Bourbaki, Lie Groups and Lie Algebras（与卡当矩阵、根系、Dynkin 图等经典框架相关的系统论述中常出现）